我为什么建议有限元分析初学者忘记圣维南原理

什么是圣维南原理

在弹性力学里，我们肯定会学到一节内容叫做圣维南原理，圣维南原理的基本概念如下：如果把物体一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（合力和合力矩相同），那么近处的应力分布有显著变化，但是远处所受的影响可以不计。

图1 圣维南原理图示说明

圣维南原理的意思其实就是在一个足够大的物体的某个小区域内，只要合力和合力矩相同，不论力的分布形式怎么改变，这个物体远离该小区域的部分所受的应力影响可以忽略不计，但是在这个小区域附近的应力会发生显著变化。参看图1，分别是集中载荷，两点载荷以及截面上均布载荷，三种载荷的合力为F，合力矩为0。依据圣维南原理，半圆虚线以下的区域，上标为4/5/6的应力值是相等的，但是半圆虚线以上的区域，上标为1/2/3的应力值可能会有显著变化。这就是圣维南原理描述的物理现象，推广到一般情况，面力可以表达为任意分布状态的合力为F，合力矩为0的形式，比如图2的三角形线性载荷分布以及正弦载荷分布形式等。

图2 载荷形式

以上就是关于圣维南原理的基本内容，这里特别需要注意两点内容，这在之后的说明非常重要：

• 图1中虚线的圆形界限是如何确定的；
• 圣维南原理描述的是应力随载荷分布变化的问题，并非位移/变形问题。
  

圣维南原理到底有什么用

在弹性力学的发展史上，圣维南原理具有非常积极的作用，因为在早期理论计算中，圣维南原理可以帮助我们将复杂的载荷分布形式转化成简单的载荷分布形式，比如各种复杂的函数分布载荷简化成集中载荷，求解结构的整体应力，这样会大大简化计算量，否则如果将复杂的面载荷函数带入到弹性力学公式中即使非常简单的模型求解也会非常复杂。

比如图1，无论载荷形式多么复杂，我们都可以通过圣维南原理将载荷简化成集中载荷F求出半圆虚线以下的区域，当然，半圆虚线以上区域的应力可能就无法准确求解了，但是这在没有计算机的时代已经是很大的便捷了。

但是千万要注意，弹性力学的理论求解不论模型多复杂，相对于现在的有限元分析模型来说都是非常简单的。

所以我们首先要达成一个基本公共识：在没有计算机的时代，基于弹性力学理论对简单结构进行求解，利用圣维南原理可以大大简化载荷边界条件的复杂性，放弃局部区域的应力准确性，对整体应力进行求解。

我们需要求解局部应力的情况多吗？

实际上非常多！有限元分析学习的过程中我们经常会提到一个算法：赫兹接触算法。赫兹接触算法就是基于经验公式求解局部区域应力状态的方法。

在以前，如果要基于理论方法求解局部应力，其实能够使用的方法很有限。但是现在，基于有限元分析可以对局部应力问题进行有效求解，而且只要载荷函数唯一确定，软件可以基于各种复杂函数的载荷边界条件进行计算，并且计算效率基本不会因为载荷分布形式的改变而有明显的变化，所以简化载荷边界条件的理由就已经不存在了，这导致使用圣维南原理的最重要的理由已经不存在了。

为什么我会建议有限元分析学习者忘记圣维南原理

目前中国环境下的教育体系，工科学生普遍没有学过弹性力学，自然对圣维南原理的应用体会是不深的，导致部分学习者对圣维南原理的误用。最典型的误用就是将圣维南原理理解为描述模型简化导致计算偏差的理由，这对很多学习者来说造成了很大的困扰。

再次重新强调：

• 圣维南原理应用的简化对象仅仅是载荷边界条件的简化；
• 载荷边界条件简化必须符合简化前后合力合力矩基本保持一致这一基本力学条件；
• 圣维南原理描述的是载荷边界条件的简化导致的局部应力变化问题，既不是全局应力偏差，也不是位移/变形偏差。
  

所以基于以上三点，我们可以仔细想一想，在我们过往的学习和应用中，需要用到圣维南原理的场景多吗？

之前也提到，当前使用有限元分析，软件可以基于各种复杂函数的载荷边界条件进行准确计算，所以之前的第一点：简化载荷边界的复杂程度这一理由已经不存在了，所以很多时候在有限元分析中基本不会用到利用圣维南原理解释结果的场景。

其次圣维南原理在模型使用上是有限制的。在弹性力学中我们使用圣维南原理，首先计算的模型不会太复杂，因此基于这些模型我们可以比较清楚地知道圣维南原理中对于区域远和近的界限位置，但是利用有限元分析的几何模型过于复杂，很多时候我们并不知道远和近的界限位置，因此在圣维南原理使用之前必须先验证远和近的界限位置。尤其是是在机械产品中，很多时候模型的尺寸跨度普遍不大，并不存在明显远离载荷区域的情况，根本不足以使用圣维南原理。

所以在当前基于有限元分析软件求解，绝大多数情况下不需要考虑圣维南原理的情况，载荷基于真实情况加载即可。

有限元分析学习中一个很奇怪的怪圈

我相信到这里会有学习者想到一个问题：万一载荷不知道怎么办？这关圣维南原理什么事，载荷不知道什么理论都没用，神仙难救！

但是如果稍微再深入下，很多人可能表述的意思是：载荷值是大概可以估计的，但是载荷分布不知道怎么办？如果载荷合力和和力矩已知，但是载荷分布不知道，那如果是这种情况，实际无论用什么方法只能将载荷简化成合力和合力矩，不然还能怎么办，这种情况下如果知道圣维南原理可能对结果的认知会稍微清晰点，但是我个人觉得帮助也没有太大，所以是否知道好像也无关紧要。

所以整个逻辑形成闭环之后，就发现：

• 如果有载荷的具体分布形式，在有限元分析中并不需要去简化载荷，这样圣维南原理就不需要使用；
• 如果没有载荷的具体分布形式，此时简化载荷加载是唯一解决方案，是否理解圣维南原理好像并不是很重要。
  

所以对于新手来说，减轻理论名词和理论概念学习带来的额外压力非常重要，可以让大家把精力聚焦在应用学习上。

来源：机械人读书笔记